Halaman
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN2TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIMATEMATIKA PEMINATANKELASXIIPENYUSUNEntis Sutisna, S.Pd.SMA Negeri 4 Tangerang
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN.............................................................................................................................................2DAFTAR ISI............................................................................................................................................3GLOSARIUM...........................................................................................................................................4PETA KONSEP.......................................................................................................................................5PENDAHULUAN...................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................6E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.......................................................................................................8Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnya.......................................8A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................8C.Rangkuman...............................................................................................................16D.Latihan Soal..............................................................................................................17E.Penilaian Diri............................................................................................................21KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................22Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi Trigonometri22A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................22B.Uraian Materi............................................................................................................22C.Rangkuman...............................................................................................................29D.Latihan Soal..............................................................................................................30E.Penilaian Diri............................................................................................................34EVALUASI.............................................................................................................................................35DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................40
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMCosinus:Suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. Cosinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi di sampingsudut itu terhadap sisi miringnya (hipotenusa).Fungsi:Merupakan suatu relasi yang memetakan setiap anggota dari suatu himpunan yang disebut daerah asal atau domain ke tepat satu anggota himpunan lain yang disebut daerah kawanatau kodomainLaju yang berkaitan:Menghitung laju perubahan suatu besaran dalam bentuk laju perubahan besaran lainSinus:Suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. Sinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi yang berhadapandengan sudut itu terhadap sisi miringnya (hipotenusa).Tangen:Suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. tangensuatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi yang berhadapandengan sudut itu terhadap sisi samping sudutnya.Trigonometri:Sebuah cabang matematika yang berkaitan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen.Turunan:Laju perubahan suatu fungsi terhadap perubahan peubahnya.Turunan kedua:Turunan dari turunan pertama.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPTURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIIdentitas TrigonometriLaju yang BerkaitanRumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnyaAturan Rantai dan Turunan KeduaRumus Pembantu
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika PeminatanKelas:XIIAlokasi Waktu:12jam pelajaranJudul Modul:Turunan Fungsi TrigonometriB. Kompetensi Dasar3.3 Menggunakan prinsip turunan ke fungsi trigonometri sederhana4.3 Menyelesaikanmasalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometriC. Deskripsi Singkat MateriSalam jumpa melalui pembelajaran matematika dengan materi Turunan Fungsi Trigonometri. Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk memahamimateri matematika peminatan kelas XII khususnya Turunan Fungsi Trigonometri. Melalui modul ini Andadiajak untuk memahami konsep Turunan Fungsi Trigonometri, Sifat-sifat Turunan Trigonometri dan Pemecahan Masalah yang terkait dengan Turunan Fungsi Trigonometri. Jika berbicara mengenai kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi maka sebenarnya kita sedang membahas mengenai turunan. Turunan terkait dengan perubahan. Sesuatu yang bersifat tetap di dunia ini adalah perubahan itu sendiri, banyak kejadian-kejadian yang melibatkan perubahan. Misalnya gerak suatu obyek (kendaraan berjalan, roket bergerak, laju pengisian air suatu tangki), pertumbuhan bibit suatu tanaman, pertumbuhan ekonomi, inflasi mata uang, berkembangbiaknya bakteri, peluruhan muatan radioaktif dan sebagainya. Konsep dasar dari turunan suatu fungsi adalah laju perubahan nilai fungsi.Tokoh-tokoh yang berjasa dalam mempelajari konsep perubahan sehingga menghasilkan cabang ilmu matematika kalkulus diferensial (turunan) diantaranya: Archimedes (287 –212 SM), Kepler (1571 –1630), Galileo (1564 –1642),Newton (1642 –1727) dan Leibniz (1646–1716). Menurut pendapat para ahli Newton dan Leibniz-lah dua orang yang paling banyak andilnya pada pertumbuhan kalkulus diferensial.D.Petunjuk Penggunaan ModulModul ini dirancang untuk memfasilitasi Andadalam melakukan kegiatan pembelajaransecara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan Andadengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN75.Jika menemukan kendaladalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan Andaterhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar Andadapat mengukur penguasaan terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan Andauntuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.E. Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soalevaluasi.Pertama :Rumus Dasar TurunanFungsi Trigonometridan Sifat-sifatnyaKedua : Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi Trigonometri
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnyaA.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 1 ini, diharapkan Andadapat membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri dan menggunakan prinsip atau aturan-aturan turunan ke fungsi trigonometri sederhana.B.Uraian MateriMasih ingatkah Andadengan definisi turunan yang sudah dipelajari saat Andadi kelas XI? Atau pelajaran trigonometri yang sudah Andapelajari di kelas X dan XI? Mudah-mudahan masih ingat, termasuk materi limit fungsi trigonometri yang sudah dipelajari pada modul sebelumnya,karena materi-materi tersebut merupakan materi prasyarat untuk memahami konsep turunan fungsi trigonometri.Rumus Dasar Turunan Fungsi TrigonometriAndatelah melihat pada modul sebelumnya bahwa gradien garis singgung dan kecepatan sesaat adalah manifestasi dari pemikiran dasar yang sama, yaitu diferensialatau turunan.Notasi turunan pertamaadalah𝑓′(𝑥)=𝑦′=𝑑𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑥=𝐷𝑥𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥)=𝑦′diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange𝑑𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑥diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz𝐷dan𝑑𝑑𝑥merupakan operator turunanDengan menggunakan definisi turunan mari kita buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri untuk y= sin x, y= sec x, dan y= tan x, untuk fungsi trigonometri lainnya, yaitu y= cos x, y= csc x, dan y= cot xdiberikan sebagai latihan.Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri y= f(x) = sin x.Penyelesaian:Sebelum Andamenentukan turunan pertama fungsi trigonometri y= f(x) = sin x, Andaharus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap, jumlah dan selisih sudut dan limit fungsi trigonometri.Diferensial/turunan pertama fungsi fadalah fungsi lain 𝑓′(dibaca “faksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan xadalah𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎJika limitnya ada.Definisi1Contoh1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Mengingat Kembali➢sin (x+ y) = sin xcos y+ cos xsin y➢sinx –siny = 2cos 12(x + y)sin12(x –y)➢1 –cos ax= 2sin212(𝑎𝑥)➢lim𝑥→0sin𝑥𝑥=1➢lim𝑥→01−cos𝑥𝑥=lim𝑥→02sin212𝑥𝑥=lim𝑥→02sin12𝑥sin12𝑥𝑥=2lim𝑥→0sin12𝑥𝑥lim𝑥→0sin12𝑥=2.12.sin(0)=0Andaakan disajikan menentukan turunan pertama fungsi y= sin xdengan 2 cara.𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ(definisi turunan)=limℎ→0sin(𝑥+ℎ)−sin𝑥ℎ(substitusikan f(x) = sin x)=limℎ→0sin𝑥cosℎ+cos𝑥sinℎ−sin𝑥ℎ(sin(x+h)=sin xcos h+ cos xsin h)=limℎ→0cos𝑥sinℎ−sin𝑥(1−cosℎ)ℎ(sifat distributif)=limℎ→0cos𝑥sinℎℎ−limℎ→0sin𝑥(1−cosℎ)ℎ(sifat limit)=cos𝑥limℎ→0sinℎℎ−sin𝑥limℎ→0(1−cosℎ)ℎ(sifat limit)=cos𝑥(1)−sin𝑥(0)(rumuslimit)=cos𝑥𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ(definisi turunan)=limℎ→0sin(𝑥+ℎ)−sin𝑥ℎ(substitusikan f(x) = sin x)=limℎ→02cos12(𝑥+ℎ+𝑥)sin12(𝑥+ℎ−𝑥)ℎ(sinx–sin y=2cos12(𝑥+𝑦)sin12(𝑥−𝑦)=limℎ→02cos(𝑥+12ℎ)sin12ℎℎ(penyederhanaan)=limℎ→02cos(𝑥+12ℎ)limℎ→0sin12ℎℎ(sifat limit)=2cos𝑥.12(sifat limit)=cos𝑥Jadi, turunanpertamafungsi trigonometri f(x) = sin x adalah 𝑓′(𝑥)= cos xCara 1Cara 2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Mengingat KembaliTentukan turunan pertama fungsi trigonometri y= f(x) = secx.Penyelesaian:Sebelum Andamenentukan turunan pertama fungsi trigonometri y= f(x) = secx, Andaharus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap, jumlah dan selisih sudut dan limit fungsi trigonometri.➢secx=1cosxtanx=sinxcosx➢cos (x+ y) = cos xcos y–sin xsin y➢cos x–cos y= –2sin 12(x+ y) sin 12(x–y)➢limx→0sinxx=1➢limx→01−cosxx=0𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ(definisi turunan)=limℎ→0sec(𝑥+ℎ)−sec𝑥ℎ(substitusikan f(x) = secx)=limℎ→01ℎ(1cos(𝑥+ℎ)−1cos𝑥)(sec𝑥=1cos𝑥)=limℎ→01ℎ(cos𝑥−cos(𝑥+ℎ)cos(𝑥+ℎ)cos𝑥)(samakan penyebut)=limℎ→01ℎ(cos𝑥−[cos𝑥cosℎ−sin𝑥sinℎ]cos(𝑥+ℎ)cos𝑥)(cos (x+ y) = cos xcos y–sin xsin y)=limℎ→01ℎ(cos𝑥−cos𝑥cosℎ+sin𝑥sinℎcos(𝑥+ℎ)cos𝑥)(penyederhanaan)=limℎ→01ℎ(cos𝑥(1−cosℎ)+sin𝑥sinℎcos(𝑥+ℎ)cos𝑥)(sifat distributif)=limℎ→0cos𝑥(1−cosℎ)ℎcos(𝑥+ℎ)cos𝑥+sin𝑥sinℎℎcos(𝑥+ℎ)cos𝑥(penyederhanaan)=limℎ→0(1−cosℎ)ℎcos(𝑥+ℎ)+sin𝑥cos𝑥limℎ→0sinℎℎcos(𝑥+ℎ)(sifatlimit)=0cos𝑥+sin𝑥cos𝑥1cos𝑥(sifatlimit)=sec𝑥tan𝑥Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = secx adalah 𝑓′(𝑥)= secxtan x.Contoh2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Mengingat KembaliTentukan turunan pertama fungsi trigonometri y= f(x) = tanx.Penyelesaian:Sebelum Andamenentukan turunan pertama fungsi trigonometri y= f(x) = tanx, Andaharusmengingat kembali identitas trigonometri, jumlah dan selisih sudut dan limit fungsi trigonometri.➢tan(𝑥+𝑦)=tan𝑥+tan𝑦1−tan𝑥tan𝑦➢lim𝑥→0tan𝑥𝑥=1➢1+tan2𝑥=sec2𝑥𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ(definisi turunan)=limℎ→0tan(𝑥+ℎ)−tan𝑥ℎ(substitusikan f(x) = tanx)=limℎ→01ℎ(tan𝑥+tanℎ1−tan𝑥tanℎ−tan𝑥)(tan(𝑥+𝑦)=tan𝑥+tan𝑦1−tan𝑥tan𝑦)=limℎ→01ℎ(tan𝑥+tanℎ−tan𝑥(1−tan𝑥tanℎ)1−tan𝑥tanℎ)(samakan penyebut)=limℎ→01ℎ(tan𝑥+tanℎ−tan𝑥+tan2𝑥tanℎ1−tan𝑥tanℎ)(penyederhanaan)=limℎ→0tanℎ(1+tan2𝑥)ℎ(1−tan𝑥tanℎ)(sifat distributif)=limℎ→0tanℎℎlimℎ→0(1+tan2𝑥)limℎ→011−tan𝑥tanℎ(sifatlimit)= (1) (1+tan2𝑥) (1)(sifatlimit)= sec2𝑥(1+tan2𝑥=sec2𝑥)Jadi, turunan fungsi trigonometri f(x) = tan x adalah 𝑓′(𝑥)=sec2𝑥.Sebagai lantihan Andaharus membuktikan turunan fungsi trigonometri berikut.➢f(x)= cosx𝑓′(𝑥)= –sinx➢f(x)= cscx 𝑓′(𝑥)= –cscx cotx➢f(x)= cotx𝑓′(𝑥)= –csc2 x Prinsip Turunan untukFungsi Trigonometri SederhanaProses pencarian turunansuatu fungsi menggunakan definisi, yakni 𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎmemakan waktu. Karena itu pada pembelajaran berikutnya kita akan menggunakan aturan pencarian turunan yang telah dipelajari di Kelas XI saat Contoh3
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN12Mengingat Kembalibelajar turunan fungsi aljabar untuk memperpendek proses dari fungsi-fungsi yang tampak rumit.Namun, sebelumnya kita ulas kembali aturan dasar pencarian turunan dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.➢f(x)= k f(x) = 0, dengan kkonstanta➢f(x)= xf(x) = 1➢f(x)= k xnf(x) = k.n.xn –1➢f(x)= sin x f(x)= cos x➢f(x)= cos xf(x)= –sin x➢f(x)= tan x f(x)= sec2x➢f(x)= cot x f(x)= –csc2x➢f(x)= sec xf(x)= sec x tan x➢f(x)= cscx f(x)= –csc xcot xJika ksuatu konstanta dan u, vadalah fungsi dari xdan terturunkan, maka aturan pencarian turunanfungsialjabar berlaku juga pada turunan fungsi trigonometri.1.Aturan Jumlah,Selisih, dan Perkaliandengan Konstanta ➢f(x)= kuf(x)= ku➢f(x)= u+vf(x)= u+v➢f(x)= u–vf(x)= u–vdengan kkonstanta, u = u(x),danv = v(x)Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.a.f(x) = sin x–cos x.b.f(x) =3x2–4cos xc.f(x) =2tan x+ 3xPenyelesaian:a.f(x)= sin x–cos xpilih : u= sin xu= cos xv= cos xv= –sin xf(x)= sin x–cos x=u–vmakaf(x)= u–vf(x)= cos x–(–sin x)f(x)= cos x+ sin xb.f(x)= 3x2–4cos xpilih : u= x2u=2xv= cosxv= –cos xContoh4
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN13k1= 3 dan k2= 4f(x)= 3x2–3 cos x=k1u+ k2vmakaf(x)= k1u+ k2vf(x)=3 (2x)–3 (–sin x)f(x)= 6x+ 3 sin xc.f(x) =2tan x+ 3xpilih : u= tan xu= sec2𝑥v= xv= 1k1= 2dan k2= 3f(x) =2tan x+ 3x=k1u+ k2vmakaf(x)= k1u+ k2v𝑓(𝑥)=2sec2𝑥+ 3Jika 𝑓(𝑥)=sin𝑥+cos𝑥+tan𝑥, maka 𝑓′(0)=....Penyelesaian:𝑓(𝑥)=sin𝑥+cos𝑥+tan𝑥𝑓′(𝑥)=cos𝑥−sin𝑥+sec2𝑥𝑓′(0)=cos0−sin0+sec20=1−0+1= 22.Aturan Perkalianf(x)= u . vf(x)= u. v + u . vdenganu =u(x) danv =v(x)Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.a.f(x) = x2sin xb.f(x) =3xsin x+ cotxc.f(x) =2 cos xsin xPenyelesaian:a.f(x)= x2sin xpilih u= x2u= 2xv =sin xv= cos xf(x)= x2sin x= u. vmakaf(x)=u. v + u . vf(x)= 2xsin x+ x2cos xb.f(x) =3xsin x+ cot xpilih u= 3xu= 3v = sin xv= cos xw =cotx w= –csc2xf(x) =3xsin x+ cot x= u. v+ wmakaf(x)=u. v + u . v+ wf(x)= 3sin x+ 3xcos x+(–csc2x)Contoh5Contoh6
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN14= 3sin x+ 3xcos x–csc2xc.f(x) =2 cos xsin xpilih u= 2 cos xu=–2 sinxv = sin xv= cos xf(x) = 2 cos xsin x = u . vmakaf(x)=u. v + u . vf(x)=(–2 sin x)(sin x) + (2 cos x)(cos x)f(x)=–2 sin2x+ 2 cos2xf(x)=2(cos2x–sin2x)f(x)=2cos 2x(cos 2x = cos2x–sin2x)3.Aturan Pembagian𝑓(𝑥)=𝑢𝑣𝑓′(𝑥)=𝑢′𝑣−𝑢𝑣′𝑣2denganu =u(x) danv=v(x)Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.a.f(x) = tanxb.𝑓(𝑥)=cos𝑥1+cos𝑥c.𝑓(𝑥)=cos𝑥sin𝑥+cos𝑥Penyelesaian:a.f(x)= tanx =sin𝑥cos𝑥pilih u= sinxu= cos xv =cosxv= –sin x𝑓(𝑥)=tan𝑥=sin𝑥cos𝑥=𝑢𝑣maka𝑓′(𝑥)=𝑢′𝑣−𝑢𝑣′𝑣2𝑓′(𝑥)=(cos𝑥)(cos𝑥)−(sin𝑥)(−sin𝑥)cos2𝑥𝑓′(𝑥)=cos2𝑥+sin2𝑥cos2𝑥𝑓′(𝑥)=1cos2𝑥(cos2𝑥+sin2𝑥=1)𝑓′(𝑥)=sec2𝑥(1cos𝑥=sec𝑥)Menunjukkan hasil yang samadengan turunan f(x)= tanxmenggunakan definisi.b.f(x)= cos𝑥1+cos𝑥pilih u= cosxu= –sinxv =1+ cos xv= –sin x𝑓(𝑥)=cos𝑥1+cos𝑥=𝑢𝑣makaContoh7
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN15𝑓′(𝑥)=𝑢′𝑣−𝑢𝑣′𝑣2𝑓′(𝑥)=(−sin𝑥)(1+cos𝑥)−(cos𝑥)(−sin𝑥)(1+cos𝑥)2𝑓′(𝑥)=−sin𝑥−sin𝑥cos𝑥+cos𝑥sin𝑥(1+cos𝑥)2𝑓′(𝑥)=−sin𝑥(1+cos𝑥)2c.𝑓(𝑥)=cos𝑥sin𝑥+cos𝑥pilih u= cosxu= –sin xv = sin x+ cos xv=cos x–sin x𝑓(𝑥)=cos𝑥sin𝑥+cos𝑥=𝑢𝑣maka𝑓′(𝑥)=𝑢′𝑣−𝑢𝑣′𝑣2𝑓′(𝑥)=(−sin𝑥)(sin𝑥+cos𝑥)−(cos𝑥)(cos𝑥−sin𝑥)(sin𝑥+cos𝑥)2𝑓′(𝑥)=−sin2𝑥−sin𝑥cos𝑥−cos2𝑥+cos𝑥sin𝑥sin2𝑥+cos2𝑥+2sin𝑥cos𝑥𝑓′(𝑥)=−(sin2𝑥+cos2𝑥)1+sin2𝑥(2sin𝑥cos𝑥=sin2𝑥)𝑓′(𝑥)=−11+sin2𝑥(cos2𝑥+sin2𝑥=1)
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN16C.Rangkuman❖Diferensial/turunan pertama fungsi fadalah fungsi lain 𝑓′(dibaca “faksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan xadalah𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎJika limitnya ada.❖Rumus dasar turunan pertama fungsi trigonometri➢f(x)= sinx f(x)= cosx➢f(x)= cosxf(x)= –sinx➢f(x)= tanx f(x)= sec2x➢f(x)= cotx f(x)= –csc2x➢f(x)= secxf(x)= secx tanx➢f(x)= cscx f(x)= –csc xcot x❖Jika ksuatu konstanta dan u, vadalah fungsi dari xdan terturunkan, maka aturan pencarian turunanfungsialjabar berlaku juga pada turunan fungsi trigonometri.➢f(x)= kuf(x)= ku➢f(x)= u+vf(x)= u+v➢f(x)= u–vf(x)= u–v➢f(x)= u . vf(x)= u. v + u . v➢𝑓(𝑥)=𝑢𝑣𝑓′(𝑥)=𝑢′𝑣−𝑢𝑣′𝑣2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN17D.Latihan Soal Kerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar.1.Buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikutdengan definisi.a.f(x)= cos x𝑓′(𝑥)= –sin xb.f(x)= csc x𝑓′(𝑥)= –csc xcot xc.f(x)= cot x𝑓′(𝑥)= –csc2x2.Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.a.𝑓(𝑥)=3𝑥sin𝑥+cos𝑥b.𝑓(𝑥)=2𝑥cos𝑥−𝑥3c.𝑓(𝑥)=cos𝑥5+sin𝑥3.Tentukan 𝑓′(𝑥)dan nilai 𝑓′(𝑥)dari fungsi f(x) = 3x–cos x+ tan xuntuk x= 𝜋3.4.Tentukan 𝑓′(𝑥)untuk 𝑓(𝑥)=cos3(2𝑥−1)
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN18Kunci Jawaban dan Pembahasan1.Buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan definisi.a.f(x)= cos x𝑓′(𝑥)= –sin x(Skor Maksimum 20)Penyelesaian:𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ(definisi turunan)=limℎ→0cos(𝑥+ℎ)−cos𝑥ℎ(substitusikan f(x) = cosx)=limℎ→0cos𝑥cosℎ−sin𝑥sinℎ−cos𝑥ℎ(cos(x+h)=cos xcos h–sin xsin h)=limℎ→0cos𝑥(cosℎ−1)−sin𝑥sinℎℎ(sifat distributif)=limℎ→0cos𝑥(cosℎ−1)ℎ−limℎ→0sin𝑥sinℎℎ(sifat limit)=cos𝑥limℎ→0cosℎ−1ℎ−sin𝑥limℎ→0sinℎℎ(sifat limit)=cos𝑥(0)−sin𝑥(1)(rumuslimit)=−sin𝑥Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = cosx adalah 𝑓′(𝑥)= –sin x.b.f(x)= csc x𝑓′(𝑥)= –csc xcot x(Skor Maksimum 20)Penyelesaian:𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ(definisi turunan)=limℎ→0csc(𝑥+ℎ)−csc𝑥ℎ(substitusikan f(x) = secx)=limℎ→01ℎ(1sin(𝑥+ℎ)−1sin𝑥)(csc𝑥=1sin𝑥)=limℎ→01ℎ(sin𝑥−sin(𝑥+ℎ)sin(𝑥+ℎ)sin𝑥)(samakan penyebut)=limℎ→01ℎ(sin𝑥−[sin𝑥cosℎ+cos𝑥sinℎ]sin(𝑥+ℎ)sin𝑥)(sin(x+ y) = sinxcos y–cosxsin y)=limℎ→01ℎ(sin𝑥−sin𝑥cosℎ−cos𝑥sinℎsin(𝑥+ℎ)sin𝑥)(penyederhanaan)=limℎ→01ℎ(sin𝑥(1−cosℎ)−cos𝑥sinℎsin(𝑥+ℎ)sin𝑥)(sifat distributif)=limℎ→0cos𝑥(1−cosℎ)ℎsin(𝑥+ℎ)sin𝑥−cos𝑥sinℎℎsin(𝑥+ℎ)sin𝑥(penyederhanaan)=cos𝑥sin𝑥limℎ→0(1−cosℎ)ℎsin(𝑥+ℎ)−cos𝑥sin𝑥limℎ→0sinℎℎsin(𝑥+ℎ)(sifatlimit)=cot𝑥0cos𝑥−cot𝑥1sin𝑥(sifatlimit)=−csc𝑥cot𝑥Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = cscx adalah 𝑓′(𝑥)= –cscxcotx.c.f(x)= cot x𝑓′(𝑥)= –csc2x(Skor Maksimum 20)𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ(definisi turunan)
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN19=limℎ→0cot(𝑥+ℎ)−cot𝑥ℎ(substitusikan f(x) = cotx)=limℎ→01ℎ(1tan(𝑥+ℎ)−1tan𝑥)(cot𝑥=1tan𝑥)=limℎ→01ℎ(1−tan𝑥tanℎtan𝑥+tanℎ−1tan𝑥)(tan(𝑥+𝑦)=tan𝑥+tan𝑦1−tan𝑥tan𝑦)=limℎ→01ℎ((1−tan𝑥tanℎ)tan𝑥−(tan𝑥+tanℎ)(tan𝑥+tanℎ)tan𝑥)(samakan penyebut)=limℎ→01ℎ(tan𝑥−tan2𝑥tanℎ−tan𝑥−tanℎ(tan𝑥+tanℎ)tan𝑥)(penyederhanaan)=limℎ→0−tanℎ(tan2𝑥+1)ℎ(tan𝑥+tanℎ)tan𝑥(sifat distributif)=limℎ→0−tanℎℎlimℎ→0(tan2𝑥+1)limℎ→01(tan𝑥+tanℎ)tan𝑥(sifatlimit)= (-1) (1+tan2𝑥) (1tan2𝑥)(sifatlimit)= −sec2𝑥(1tan2𝑥)(1+tan2𝑥=sec2𝑥)= −1cos2𝑥(cos2𝑥sin2𝑥)(sec x=1cos𝑥, 1tan𝑥=cos𝑥sin𝑥)=−1sin2𝑥= −csc2𝑥Jadi, turunan fungsi trigonometri f(x) = cotx adalah 𝑓′(𝑥)=−csc2𝑥.2.Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.a.𝑓(𝑥)=3𝑥sin𝑥+cos𝑥(Skor Maksimum 10)Penyelesaian:𝑦=3𝑥sin𝑥+cos𝑥Untuk 3x.sin xdimisalkan:𝑢=3𝑥→𝑢′=3𝑣=sin𝑥→𝑣′=cos𝑥Jadi,𝑦′=3sin𝑥+3𝑥cos𝑥+(−sin𝑥)𝑦′=2sin𝑥+3𝑥cos𝑥b.𝑓(𝑥)=2𝑥cos𝑥−𝑥3(Skor Maksimum 10)Penyelesaian:𝑦=2𝑥cos𝑥−𝑥3Untuk 2x.cos xdimisalkan:𝑢=2𝑥→𝑢′=2𝑣=cos𝑥→𝑣′=−sin𝑥Jadi,𝑦′=2.(cos𝑥)+2𝑥.(−sin𝑥)−3𝑥2𝑦′=2cos𝑥−2𝑥sin𝑥−3𝑥2c.𝑓(𝑥)=cos𝑥5+sin𝑥(Skor Maksimum 10)Penyelesaian:𝑓(𝑥)=cos𝑥5+sin𝑥Misalkan:𝑢=cos𝑥→𝑢′=−sin𝑥𝑣=5+sin𝑥→𝑣′=cos𝑥Jadi,
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN20𝑓′(𝑥)=𝑢′𝑣−𝑢𝑣′𝑣2=(−sin𝑥)(5+sin𝑥)−cos𝑥cos𝑥(5+sin𝑥)2=−5sin𝑥−sin2𝑥−cos2𝑥(5+sin𝑥)2=−5sin𝑥−(sin2𝑥+cos2𝑥)(5+sin𝑥)2=−5sin𝑥−1(5+sin𝑥)23.Tentukan 𝑓′(𝑥)dan nilai 𝑓′(𝑥)dari fungsi f(x)= 3x–cos x+ tan xuntuk x= 𝜋3.(Skor Maksimum 10)Penyelesaian:f(x) = 3x–cos x+ tan x𝑓′(𝑥)= 3 + sin x–sec2xdan𝑓′(𝜋3)= 3 + sin 𝜋3–sec2𝜋3=3+12√3−4=12√3−1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN21E.Penilaian DiriAnandaisilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Andaketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Anda telah memahami pengertian turunan fungsi trigonometri.2.Apakah Anda telah mampu membuktikanrumus dasar turunan fungsi trigonometri.3.Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan jumlah dan selisih ke turunan fungsi trigonometri?4.Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan perAndadua fungsi ke turunan fungsi trigonometri?5.Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan pembagian ke turunan fungsi trigonometri?Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN22KEGIATAN PEMBELAJARAN 2Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi TrigonometriA.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 2 ini, diharapkan Andadapat menerapkan Aturan Rantai dalam menentukan turunan fungsi komposisi trigonometri, menentukan turunan kedua fungsi trigonometri, dan menyelesaikan masalahyang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri khususnya laju yang berkaitan.B.Uraian MateriAturan RantaiAndaikan Andadiminta menentukan turunan fungsi F(x)= cos (3x–5). Rumus turunan yang telah Andapelajari tidak memungkinkan Andauntuk menghitungF(x).Amati oleh Andabahwa Fberupa fungsi komposisi. Pada kenyataannya,andaikan y= f(u) = cos udan u= g(x) = 3x–5, maka kita dapat menuliskan y= F(x) = f(g(x)), yakni F= fo g. Kita ketahui bagaimana menentukan turunan fungsi fdan g, sehingga akan bermanfaat sebagai aturan yang memberitahu kita bagaimana menurunkan 𝐹=𝑓∘𝑔dalam bentuk turunan dari fdan g.Ternyata turunan fungsi komposisi adalah hasil kali turunan fdan g. Fakta ini merupakan salah satu dari aturan turunan yang terpenting dandisebut Aturan Rantai.Untuk lebih memahami lagi tentang aturan rantai pelajari contoh beriku.Carilah 𝐹′(𝑥)jika F(x) = cos (3x–5).Penyelesaian:❖Menggunakan persamaan (1)➢Nyatakan F sebagai F(x) = fo g(x)= f(g(x)), denganf(u) = cos udan u= g(x) = 3x–5➢Cari turunan dari fdan g𝑓′(𝑢)=−sin𝑢𝑓′(𝑔(𝑥))=−sin𝑔(𝑥)=−sin(3𝑥−5)dan 𝑔′(𝑥)=3Contoh1Jika fdan gkeduanya fungsi fungsi yang dapat diturunkan dan F= fo gadalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh F= f(g(x)), maka Fdapat diturunkan menjadi 𝐹′yang diberikan oleh hasil kali𝐹′(𝑥)=𝑓′൫𝑔(𝑥)൯𝑔′(𝑥)(1)Dalam notasi Leibniz, jika y=f(u) dan u= g(x) keduanya fungsi yang dapat diturunkan, maka𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥(2)Aturan Rantai
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN23➢Cari 𝐹′(𝑥)𝐹′(𝑥)=𝑓′൫𝑔(𝑥)൯𝑔′(𝑥)= –sin(3x–5). (3)= –3 sin (3x–5) ❖Menggunakan persamaan (2)Misalkan u= 3x–5 𝑑𝑢𝑑𝑥=3dan y= cos u𝑑𝑦𝑑𝑢=−sin𝑢maka𝐹′(𝑥)=𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥=−sin𝑢(3)=−3sin𝑢=−3sin(3𝑥−5)Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.a.y= sin(x2–3x)b.y= sin2xPenyelesaian:a.Jika y= sin(x2–3x), maka fungsi sebelah luar adalah fungsi sinus dan fungsi sebelah dalam adalah fungsi kuadrat, sehingga aturan rantai memberikan𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑑𝑥sin⏟fungsisebelahluar(𝑥2−3𝑥)⏟dihitungpadafungsisebelahdalam=cos⏟turunanfungsisebelahluar(𝑥2−3𝑥)⏟dihitungpadafungsisebelahdalam.(2𝑥−3)⏟turunanfungsisebelahdalam𝑑𝑦𝑑𝑥=(2𝑥−3)cos(𝑥2−3𝑥)b.Jika y= sin2x= (sin x)2, maka fungsi sebelah luar adalah fungsi kuadrat dan fungsi sebelah dalam adalah fungsi sinus, sehingga aturan rantai memberikan𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑑𝑥(sin𝑥)2⏟fungsisebelahluar=2⏟turunanfungsisebelahluar(sin𝑥)⏟dihitungpadafungsisebelahdalam.(cos𝑥)⏟turunanfungsisebelahdalam𝑑𝑦𝑑𝑥=2sin𝑥cos𝑥= sin 2x(sin 2x= 2 sin xcos x)Dari Contoh 2 dapat disimpulkan sebagai berikut.Catatan:Dalam menggunakan aturan rantai kita bekerja dari luar ke dalam. Rumus (1) mengatakan bahwa kita menurunkan fungsi sebelah luar f(pada fungsi lebih dalam g(x)) dan kemudian kita kalikan dengan turunan fungsi sebelahdalam.𝑑𝑑𝑥𝑓⏟fungsisebelahluar(𝑔(𝑥))⏟dihitungpadafungsisebelahdalam=𝑓′⏟turunanfungsisebelahluar(𝑔(𝑥))⏟dihitungpadafungsisebelahdalam.𝑔′(𝑥)⏟turunanfungsisebelahdalamContoh2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN24Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.a.y= cos (3x2–5)b.y= tan2xPenyelesaian:a.y= cos (3x2–5)y= cos uy= –sin u . uy= cos (3x2–5) y= –sin (3x2–5) . (6x) = –6xsin (3x2–5)b.y= tan2x=(tan x)2y= k uny= k nun –1. uy= tan2x=(tan x)2y= 2tanx. (sec2x) = 2tanx. sec2xAlasan untuk nama“Aturan Rantai” menjadi jelas pada waktu kita membuat rantai yang lebih panjang dengan cara menambahkan mata rantai lain. Andaikan bahwa y= f(u), u= g(v), dan v= h(x), dengan fungsi f, g,dan dapat diturunkan. Maka, untuk menghitung turunan yterhadapx, kita gunakan Aturan rantai dua kali:𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑣𝑑𝑥Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri y= sin3(2x2–3x)Penyelesaian:Cara 1y= sin3(2x2–3x)Misalkan v= 2x2–3x𝑑𝑣𝑑𝑥=4𝑥−3u= sin v𝑑𝑢𝑑𝑣=cos𝑣y= u3𝑑𝑦𝑑𝑢=3𝑢2maka𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑣𝑑𝑥=3𝑢2cos𝑣(4𝑥−3)= 3(sin v)2cos (2x2–3x)(4𝑥−3)= 3 sin2(2x2–3x)cos (2x2–3x)(4x–3)=3 (4x–3) sin2(2x2–3x)cos (2x2–3x)= (12x–9) sin2(2x2–3x)cos (2x2–3x)Aturan Rantaiy= k uny= k nun –1. uy= sin uy= cos u . uy= cos uy= –sin u . uy= tan uy= sec2 u . uy= cot uy= –csc2 u . uy= sec uy=sec utan u . uy= cscuy= –csc ucot u . udengan kkostanta dan u = u(x)Contoh3Contoh4
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN25Cara 2Fungsi sebelah luar adalah fungsi kubik, fungsi tengah adalah fungsi sinus, dan fungsi dalam adalah fungsi kuadrat.𝑑𝑦𝑑𝑥=3sin2(2𝑥2−3𝑥)𝑑𝑑𝑥(sin(2𝑥2−3𝑥))=3sin2(2𝑥2−3𝑥)(cos(2𝑥2−3𝑥))𝑑𝑑𝑥(2𝑥2−3𝑥)=3sin2(2𝑥2−3𝑥)cos(2𝑥2−3𝑥)൫4𝑥−3൯= (12x–9) sin2(2x2–3x)cos (2x2–3x)Cara 3y = sinnu y= nsinn–1u .cosu .uy= sin3(2x2–3x) y=3sin2(2x2–3x). cos (2x2–3x). (4x –3)y=(12x–9) sin2(2x2–3x). cos (2x2–3x). (4x–3)Jadi, untuk aturan rantai lainnya diperoleh:Turunan KeduaJika ffungsi yang terturunkan, maka turunannya fjuga berupa fungsi, sehingga fboleh jadi mempunyai turunan tersendiri, yang dinyatakan oleh (f)= f.Fungsi fyang baru ini disebut turunan kedua dari fkarena dia berupa turunan dari turunan f. Tentukan turunan kedua fungsi trigonometri berikut.a.y= sin (3x+ )b.y= cos2xc.y= xcos xPenyelesaian :a.y= sin (3x+ )y= 3cos (3x+ )(turunan y= sinuadalah y= ucosu)y= –9 sin (9x+ )(turunan y= cosuadalah y= –usinu)Aturan Rantaiy= sinnuy= nsinn–1 u .cos u. uy= cosnuy= –ncosn–1u .sinu .uy= tannuy= ntann–1u.sec2 u . uy= cotnuy= –ncotn–1u.csc2 u . uy= secnuy= nsecn–1u.sec utan u . uy= cscnuy= –ncscn–1u.csc ucot u . udengan u = u(x)Jika f(x) (turunan pertama suatu fungsi) diturunkan lagi terhadap x, maka akan diperoleh turunan kedua fungsi f(x) terhadap x, ditulis dengan f(x) atau yatau atau D2f(x).Definisi1Contoh5
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN26b.y= cos2xy= –2 cos xsin x(turunan y= u2adalah y=2u.u)y= –sin 2x(sin 2x= 2 sin xcos x)y = –2 cos 2x(turunan y= sinuadalah y= ucosu)c.y= xcos xy= cos x–xsin x(y= uvy = uv+ uv)y= –sin x–(sin x+ xcos x)(y= uvy = uv+ uv)y = –2 sin x–xcos xLaju yang BerkaitanHal utama dalam persoalan laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan suatu besaran dalam bentuk laju perubahan besaran lain (yang boleh jadi jauh lebih mudah diukur). Jika variabelytergantung kepada waktu,maka turunannya 𝑑𝑦𝑑𝑡disebut lajusesaat perubahan. Tentu saja, jika ymengukur jarak, maka laju sesaat perubahan ini juga disebut kecepatan(v). Laju sesaat dari perubahan kecepatan akan menghasilkan percepatan (a).❖kecepatan vv(t)= 𝑑𝑦𝑑𝑡= y(t)❖percepatan aa(t)= 𝑑𝑣𝑑𝑡= v(t) = 𝑑2𝑦𝑑𝑡2= y(t)Kita tertarik pada beraneka laju sesaat, laju air mengalir ke dalam ember, laju membesarnya luas pencemaran minyak, laju bertambahnya nilai kapling tanah, dan lain-lain. Strategi untuk pemecahan masalah khususnya mengenai laju yang berkaitan, adalah:1.Baca masalah secara seksama.2.Gambarkan diagram jika mungkin.3.Perkenalkan notasi. Berikan lambing kepada semua besaran yang merupakan fungsi waktu.4.Nyatakan informasi yang diketahui dan laju yang diperlukan dalam bentuk turunan.5.Tuliskan persamaan yang mengaitkan beragam besaran dari masalah tersebut. Jika perlu, gunakan geometri untuk menghilangkan satu peubah melalui substitusi.6.Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan terhadap t.7.Substitusikan informasi yang diketahui ke dalam persamaan yang dihasilkan dan pecahkan untuk laju yang tidak diketahui tersebut.Sebuah gelombang transversal merambat dengan persamaan 𝑦=0,1sin(14𝜋𝑡−14𝜋𝑥). Sebuah penelitian dilakukan pada jarak 2 meter dari pusat gelombang. Berapakah kecepatan dan percepatan partikel gelombang itu pada saat detik ke-3? Penyelesaian:𝑦=0,1sin(14𝜋𝑡−14𝜋𝑥)Persamaan kecepatan dan percepatan gelombang tersebut adalah:𝑣=𝑦′=(14𝜋)0,1cos(14𝜋𝑡−14𝜋𝑥)=0,025𝜋cos(14𝜋𝑡−14𝜋𝑥),dan 𝑎=𝑣′=𝑦′′=(14𝜋)0,025𝜋sin(14𝜋𝑡−14𝜋𝑥)=0,00625𝜋2sin(14𝜋𝑡−14𝜋𝑥)Pada saat t= 3 detik dan x= 2meter, makaContoh6
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN27𝑣=0,025𝜋cos(14𝜋(3)−14𝜋(2))=0,025𝜋cos(14𝜋)=0,025𝜋(12√2)=0,0125𝜋√20,056𝑎=0,00625𝜋2sin(14𝜋(3)−14𝜋(2))=0,00625𝜋2sin(14)=0,00625𝜋2(12√2)0,0436Jadi, kecepatan partikel gelombang pada detik ke-3 di posisi 2 meter dari pusat gelombang adalah 0,056 m/detik dan percepatan partikel gelombangnya adalah 0,0436 m2/detik.Seseorang berjalan menurut tapak lurus pada kecepatan 4 meter/detik. Lampu pencari terletak di tanah sejauh 20 meterdari tapak dan tetap dipusatkan pada orang itu. Pada laju berapa lampu pencari berputar jika orang itu berada 15 meterdari titik pada tapak yang terdekat ke lampu pencari?Penyelesaian:Kitalukiskan seperti gambar di atasdan misalkan xadalah jarak dari titik pada tapak yang terdekat ke lampu pencari ke orang tersebut. Kita misalkan adalah sudut antara sinar lampu pencari dan garis tegak lurus pada tapak.Diketahui bahwa 𝑑𝑥𝑑𝑡= 4 meter/detik dan diminta mencari 𝑑𝑑𝑡pada saatx= 15. Persamaan yang mengaitkan xdan dapat dituliskan berdasarkan Gambar.𝑥20=tan𝜃𝑥=20tan𝜃Dengan menurunkan masing-masing ruas terhadap t, diperoleh𝑑𝑥𝑑𝑡=20sec2𝜃𝑑𝜃𝑑𝑡Sehingga 𝑑𝜃𝑑𝑡=120cos2𝜃𝑑𝑥𝑑𝑡=120cos2𝜃(4)=15cos2𝜃Contoh7x20
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN28Pada saatx= 15, panjang sinar adalah 25, sehingga cos𝜃=45dan𝑑𝜃𝑑𝑡=15(45)2=16125=0,128Jadi, lampu pencariberputar pada laju 0,128 radian/detik.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN29C.Rangkuman❖Jika fdan gkeduanya fungsi fungsi yang dapat diturunkan dan F= fo gadalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh F= f(g(x)), maka Fdapat diturunkan menjadi 𝐹′yang diberikan oleh hasil kali𝐹′(𝑥)=𝑓′൫𝑔(𝑥)൯𝑔′(𝑥)Dalam notasi Leibniz, jika y= f(u) dan u= g(x) keduanya fungsi yang dapat diturunkan, maka𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥❖Misalkan u= u(x), maka rumus umum turunanfungsi trigonometriadalah:➢y= sinnuy= nsinn–1 u .cos u. u➢y= cosnuy= –ncosn–1u .sinu .u➢y= tannuy= ntann–1u.sec2 u . u➢y= cotnuy= –ncotn–1u.csc2 u . u➢y= secnuy= nsecn–1u.sec utan u . u➢y= cscnuy= –ncscn–1u.csc ucot u . u❖Jika f(x) (turunan pertama suatu fungsi) diturunkan lagi terhadap x, maka akan diperoleh turunan kedua fungsi f(x) terhadap x, ditulis dengan f(x) atau yatau 2222ataudxyddxfd.❖Laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan suatu besaran dalam bentuk laju perubahan besaran lain (yang bolehjadi jauh lebih mudah diukur). Jika variabel ytergantung kepada waktu, maka turunannya 𝑑𝑦𝑑𝑡disebut laju sesaat perubahan.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN30D.Latihan SoalKerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar.1.Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.a.f(x) = cos (4x–) b.f(x) = cos5(3 –2x)c.𝑓(𝑥)=𝑥cos22𝑥−2𝑥32.a. Jika 𝑓(𝑥)=4cos3𝑥, maka tentukan nilai 𝑓′(𝑥)untuk 𝑥=𝜋3b. Jika 𝑓(𝑥)=sin2(2𝑥+𝜋6), maka tentukan nilai 𝑓′(0).3.Tentukan turunan kedua dari fungsi trigonometri berikut.a.y= cos (2x+ )b.y= sin2x4.Sebuah gelombang transversal merambat dengan persamaan 𝑦=2sin(5𝜋𝑡−𝜋𝑥). Sebuah penelitian dilakukan pada jarak 4 meter dari pusat gelombang. Berapakah kecepatan dan percepatan partikel gelombang itupada saat detik ke-2?5.Disebuah menara yang tingginya 100 m dari atas tanah, seorang penjaga pantai melihat sebuah kapal mendekat dengan laju 5 m/s. Tentukan laju perubahan sudut depresi penjaga pantai terhadap waktu pada saat jarak kapal terhadap menara 100 m.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN31Kunci Jawaban dan Pembahasan1.Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.a.f(x) = cos (4x–) b.f(x) = cos5(3 –2x)c.𝑓(𝑥)=𝑥cos22𝑥−2𝑥3Penyelesaian:a.f(x) = cos (4x–) (skor maksimum 10)y= cos uy= –sinu .umaka𝑓′(𝑥)= –sin (4x–)(4)𝑓′(𝑥)= –4 sin (4x–)b.f(x) = cos5(3 –2x)(skor maksimum 10)y= cosnuy= –ncosn–1u .sinu .umaka𝑓′(𝑥)= –5 cos4(3 –2x)sin (3 –2x)(–2)= 10cos4(3 –2x)sin (3 –2x)= 5 cos3(3 –2x)[2 cos(3 –2x)sin(3 –2x)= 5 cos3(3 –2x)sin 2(3 –2x)= 5 cos3(3 –2x)sin(6–4x)c.𝑓(𝑥)=𝑥cos22𝑥−2𝑥3(skor maksimum 10)𝑓′(𝑥)=1.cos22𝑥+𝑥.(2.cos2𝑥.(−sin2𝑥).2)−6𝑥2=cos22𝑥−4𝑥.cos2𝑥sin2𝑥−6𝑥2=cos22𝑥−2𝑥.(2cos2𝑥sin2𝑥)−6𝑥2=cos22𝑥−2𝑥.sin2(2𝑥)−6𝑥2=cos22𝑥−2𝑥.sin4𝑥−6𝑥22.a. Jika 𝑓(𝑥)=4cos3𝑥, maka tentukan nilai 𝑓′(𝑥)untuk 𝑥=𝜋3Penyelesaian:(skor maksimum 10)𝑓(𝑥)=4cos3𝑥𝑓′(𝑥)=4.3.cos2𝑥.(−sin𝑥)𝑓′(𝑥)=−12.sin𝑥.cos2𝑥𝑓′(𝜋3)=−12sin𝜋3.cos2𝜋3=−12(12√3)(12)2=−32√3b. Jika 𝑓(𝑥)=sin2(2𝑥+𝜋6), maka tentukan nilai 𝑓′(0). Penyelesaian:(skor maksimum 10)𝑓(𝑥)=sin2(2𝑥+𝜋6)𝑓′(𝑥)=2.sin(2𝑥+𝜋6).cos(2𝑥+𝜋6).2𝑓′(𝑥)=sin2((2𝑥+𝜋6)).2𝑓′(0)=2.sin2(2.0+𝜋6)=2.sin2𝜋6=2.sin𝜋3=2.12
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN32=13.Tentukan turunan kedua dari fungsitrigonometri berikut.a.y= cos (2x+ )b.y= sin2xPenyelesaian:a.y= cos (2x+ )(skor maksimum 10)y = –2 sin (2x+ )(turunan y= cos uadalah y= –usin u)y = –4cos (2x+ )(turunan y= sin uadalah y= ucos u)b.y= sin2x(skor maksimum 10)y = 2 sin xcos x(turunan y= u2adalah y=2u. u)y = sin 2x(sin 2x= 2 sin xcos x)y = 2 cos 2x(turunan y= sin uadalah y= ucos u)4.Sebuah gelombang transversal merambat dengan persamaan 𝑦=2sin(5𝜋𝑡−𝜋𝑥). Sebuah penelitian dilakukan pada jarak 4 meter dari pusat gelombang. Berapakah kecepatan dan percepatan partikel gelombang itu pada saat detik ke-2? Penyelesaian:(skor maksimum10)𝑦=2sin(5𝜋𝑡−𝜋𝑥)Persamaan kecepatan dan percepatan gelombang tersebut adalah:𝑣=𝑦′=(5𝜋)2cos(5𝜋𝑡−𝜋𝑥)=10𝜋cos(5𝜋𝑡−𝜋𝑥),dan 𝑎=𝑣′=𝑦′′=−(5𝜋)10𝜋sin(5𝜋𝑡−𝜋𝑥)=−50𝜋2sin(5𝜋𝑡−𝜋𝑥)Pada saat t= 2 detik dan x= 4 meter, maka𝑣=10𝜋cos൫5𝜋(2)−𝜋(4)൯=10𝜋cos(6𝜋)=10𝜋𝑎=−50𝜋2sin൫5𝜋(2)−𝜋(4)൯=−50𝜋2sin(6𝜋)=0Jadi, kecepatan partikel gelombang pada detik ke-2 di posisi 4 meter dari pusat gelombang adalah 10𝜋m/detik dan percepatan partikel gelombangnya adalah 0.5.Disebuah menara yang tingginya 100 m dari atas tanah, seorang penjaga pantai melihat sebuah kapal mendekat dengan laju 5 m/s. Tentukan laju perubahan sudut depresi penjaga pantai terhadap waktu pada saat jarak kapal terhadap menara 100 m.Penyelesaian:(skor maksimum 10)Perhatikan gambar berikut:100 mKapalDiketahui: 𝑑𝑥𝑑𝑡=5m/s, AB= 100m, BC= 100mDitanyakan: 𝑑𝛽𝑑𝑡Dari ∆𝐴𝐵𝐶,perhatikan cot𝛽=𝐵𝐶𝐴𝐵=𝑥100𝑥=100.cot𝛽Ruas kiri dan ruas kanan diturunkan terhadap t.𝑑𝑥𝑑𝑡=100.(−csc2𝛽)𝑑𝛽𝑑𝑡, ABCxββ
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN33Subtitusikan 𝑑𝑥𝑑𝑡=5dan tan𝛽=𝐵𝐶𝐴𝐵=100100=1→𝛽=𝜋45 = 100.(−csc2𝜋4)𝑑𝛽𝑑𝑡5100=−(√2)2𝑑𝛽𝑑𝑡120=−2𝑑𝛽𝑑𝑡𝑑𝛽𝑑𝑡=−140(tanda negative hanya menunjukkan arah)Jadi, laju perubahan sudut depresi penjaga pantai terhadap waktu140radian/sekon.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN34E.Penilaian DiriAnandaisilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Andaketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Anda mampu menentukan turunanfungsi trigonometri?2.Apakah Anda telah memahami penggunaan aturan rantai? 3.Apakah Anda dapat menggunakan aturan rantai dalam turunan fungsi trigonometri?4.Apakah Anda dapat menentukan turunan kedua fungsi trigonometri?5.Dapatkah Anda menyelesaikan masalah penggunaan turunan fungsi trigonometri dalam laju yang berkaitan?Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN35EVALUASIPilihlah satu jawaban yang paling tepat.1.Jika y= 3x4+ sin 2x+ cos 3x, maka dxdy= ....A.12x3+ 2 cos 2x+ 3 sin 3xB.12x3+ cos 2x–sin 3xC.12x3–2 cos 2x+ 3 sin 3xD.12x3–2 cos 2x–3 sin 3xE.12x3+ 2 cos 2x–3 sin 3x2.Jika y= 3sin 2x–2cos 3x,maka 𝑑𝑦𝑑𝑥=⋯.A.6cos 2x+ 6sin 3xB.–6cos 2x–6 sin 3xC.6cos 2x–6sin 3xD.3cos 2x+ 3 sin 3xE.3cos 2x–3sin 3x3.Jika 𝑓(𝑥)=𝑎tan𝑥+𝑏𝑥,dengan 𝑓′(𝜋4)=3dan 𝑓′(𝜋3)=9, nilai 𝑎+𝑏= ....A.0B.1C.21D.2E.4.Jika f(x)= acotx+ bxdan f(61) = 5 dan f(41) = 1, maka nilai a.b= ....A.–6B.–3C.3D.6E.85.Jika fungsi f(x) = sin ax+ cos bxmemenuhi f(0) = bdan f()a2= –1, maka a+ b= ....A.–1 B.0C.1D.2E.36.Jika f(x)= xcos x, maka f(x+ 21) = ....A.–sin x–xcos x+ 21cos xB.–sin x–xcos x–21cos xC.–sin x+ xcos x–21cos xD.–sin x+ xcos x+ 21cos xE.–cos x+ xsin x+ 21cos x7.Turunan pertama fungsi f(x) = 5 sin xcos xadalah f ′(x) = ....A.5 sin 2x B.5 cos 2xC.5 sin2xcos xD.5 sin xcos2xE.5 sin 2x cos x
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN368.Turunanpertama dari f(x) = (3x2–5)cos xadalah f (x) = ....A.3xsin x+ (3x2–5) cos xB.3xcos x+ (3x2–5) sin xC.–6xsin x–(3x2–5) cos xD.6xcos x+ (3x2–5) sin xE.6xcos x–(3x2–5) sin x9.Turunan pertama dari y= xxxcossinsin+adalah y= ....A.2)cos(sincosxxx+B.2)cos(sin1xx+C.2)cos(sin2xx+D.2)cos(sincossinxxxx+−E.2)cos(sincossin2xxxx+10.Diketahui 𝑓(𝑥)=cos𝑥sin𝑥+cos𝑥. Jika f (x) adalah turunan dari f(x) maka nilai dari 𝑓′(𝜋4)=....A.−12√2B.−12C.14√2D.12E.12√211.Jika f(x) = xxxsincossin+, sin x0 dan f(x) adalah turunan f (x), maka f(2) = ....A.–2B.–1 C.0D.1E.212.Nilai turunan pertama y= sin (x + 20o) pada x= 10oadalah ....A.12B.12√2C.12√3D.−12√2E.−12√313.Jika f(x) = –(cos 2x–sin 2x), maka f(x) adalah ....A.2(sin x+ cos x)B.2(cos x–sin x)C.sin xcos xD.2 sin xcos xE.4 sin xcos x
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN3714.Diketahui fungsi f(x) = (x+ sin 3x) dan g(x)= x2. Jika u(x) = g(f(x)), maka turunan pertama dari u(x) adalah u′(x) = ....A.2 (x+ sin 3x+ 3xsin 3x+ 3 sin2 3x)B.2x+ 2 sin 3x+ 6xcos 3x+ 3 sin 6xC.2x+ 6 sin 3x+ cos 3xD.2 (x+ sin 3x+ 3 sin 3x+ sin23x) E.2x+ 6 sin 3x + 3xcos 3x+ sin 3xcos 3x15.Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah ....A.f (x) = −32cos𝑥sin2𝑥B.f (x) = 32cos𝑥sin2𝑥C.f (x) = −3sin𝑥cos𝑥D.f (x) = 3sin𝑥cos𝑥E.f (x) = −3cos2x16.Diketahui 𝐹(𝑥)=sin2(2𝑥+3). Turunan pertama dari 𝐹(𝑥)adalah....A.𝐹′(𝑥)=−4sin(4𝑥+6)B.𝐹′(𝑥)=−2sin(4𝑥+6)C.𝐹′(𝑥)=sin(4𝑥+6)D.𝐹′(𝑥)=2sin(4𝑥+6)E.𝐹′(𝑥)=4sin(4𝑥+6)17.Turunan pertama dari 𝑓(𝑥)=√sin23𝑥3adalah 𝑓′(𝑥)=....A.23cos−133𝑥B.2cos−133𝑥C.23cos−133𝑥sin3𝑥D.−2cot3𝑥⋅√sin23𝑥3E.2cot3𝑥⋅√sin23𝑥318.Jika 𝑓(𝑥)=sin2(2𝑥+𝜋6), maka nilai dari 𝑓′(0)=....A.2√3B.2C.√3D.12√3E.12√219.Diketahui y= xcosx, maka y + y= ....A.sin xcos xB.2 cos xC.–2 sin xD.cos x–sin xE.2 cos x–120.Turunan kedua dari f(x)= cos2 2xadalah ....A.–6 sin 2xB.–8 cos 4xC.8 cos 4xD.8 sin 4xE.3 sin 2xcos 2x21.Sebuahpartikel sedang bergerak dengan persamaan perpindahan dari titik awalgerak 𝑥=5cos(2𝑡−𝜋3)dengan xdalam meter dan tdalam sekon. Kecepatan awal partikel adalah ....
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN38A.2B.3C.4D.5E.5√322.Sebuahgelombang merambat dengan persamaan 𝑦=3sin(2𝜋𝑡−𝜋𝑥). Sebuah penelitian dilakukan pada jarak 2 meter dari pusat gelombang. Kecepatan gelombang itu pada saat detik ke-2 adalah ....A.3m/detikB.4m/detikC.6m/detikD.7m/detikE.8m/detik23.Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah tdetik diberikan oleh persamaan N(t) = cos t+ 5 tan 5t. Laju sesaat pertumbuhan bakteri tersebut ketika mencapai 30 detik ....A.19712bakteri/detikB.1976bakteri/detikC.1003bakteri/detikD.1973bakteri/detikE.1972bakteri/detik24.Sebuah layang-layang terbang 100 kaki di atas tanah, bergerak dalam arah horizontal dengan laju 10 kaki / detik. Seberapa cepat sudut antara tali dan perubahan horizontal ketikapanjang tali yang terulur 300 kaki keluar?A.190B.145C.130D.30E.9025.Dua sisi sebuah segitiga mempunyai panjang 4 m dan 5 m dan sudut diantaranya bertambah pada laju 0,06 radial/detik. Laju bertambahnya luas segitiga pada waktu sudut antar sisipanjang tetap 𝜋3adalah ....A.0,03 m2/detikB.0,1 m2/detikC.0,2 m2/detikD.0,3 m2/detikE.0,6 m2/detik
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN39KUNCI JAWABAN EVALUASI1.E2.A3.A4.D5.D6.B7.B8.E9.B10.A11.B12.C13.E14.B15.A16.D17.E18.C19.B20.B21.D22.C23.B24.A25.D
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3@2020, Direktorat SMA, Direktorat JenderalPAUD, DIKDAS dan DIKMEN40DAFTAR PUSTAKAChakrabarti, J, et al. 2014. Matematika untuk SMA Kelas XI Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bogor: Quadra.Kanginan, Marthen. 2016. Matematika Kelas XII Peminatan. Bandung:Yrama Widya.Priatna, Nanangdan Titi Sukamto. 2016. Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Grafindo Media Pratama.Purcell,E.J.,dan Dale Varberg.1990. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.Setiawan. 2004. Pengantar Kalkulus. Yogyakarta:PPPG Matematika.Simangunsong, W., dan Frederik M. Poyk. 2016. Matematika Peminatan Kelas XII SMA/MA. Jakarta: Gematama.Soedyarto, Nugroho. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 2. Jakarta:Pusat Perbukuan Depatemen Pendidikan Nasional.SuparmindanAditya Nur Rochma. 2016. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmuAlamuntuk SMA/MA Kelas XII. Surakarta: Mediatama.Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.